sgn

График функции y = sgn x

sgn (сигнум, от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция действительного аргумента. Обозначается [math]\displaystyle{ \sgn x }[/math]. Определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \sgn x = \begin{cases} \ \ 1, & x \gt 0 \\ \ \ 0, & x = 0 \\ -1, & x \lt 0 \end{cases} }[/math]

Функция не является элементарной.

Часто используется представление

[math]\displaystyle{ \sgn x = \frac{d}{dx} |x| }[/math]

При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.

Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.

История и обозначения

Функцию [math]\displaystyle{ \sgn x }[/math] ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе: [math]\displaystyle{ [x] }[/math]. В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с [math]\displaystyle{ \sgn }[/math], функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение [math]\displaystyle{ sgn . x }[/math], которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке. Иногда функцию обозначают как [math]\displaystyle{ \operatorname{sign} x }[/math].

Свойства функции

• Область определения: [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math].
• Область значений: [math]\displaystyle{ \{-1; 0; +1\} }[/math].
• Гладкая во всех точках, кроме нуля.
• Функция нечётна.
• Точка [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны [math]\displaystyle{ +1 }[/math] и [math]\displaystyle{ -1 }[/math] соответственно.
• [math]\displaystyle{ |x| = \sgn x \cdot x }[/math] и [math]\displaystyle{ x = \sgn x \cdot |x| }[/math] для [math]\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{R} }[/math]. Иначе говоря,

[math]\displaystyle{ \sgn x = {x \over |x|} = {|x| \over x} }[/math] при [math]\displaystyle{ x \ne 0 }[/math].

• [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\sgn x = 2 \cdot \delta (x) }[/math], где [math]\displaystyle{ \delta (x) }[/math] — дельта-функция Дирака.
• [math]\displaystyle{ \sgn x \cdot \sgn y = \sgn (x \cdot y) }[/math].
• [math]\displaystyle{ \sgn x = \frac{2}{\pi} \int ^{\infty}_{0} \frac{\sin tx}{t} dt }[/math].

Обобщения функции для комплексного аргумента

• Представление

[math]\displaystyle{ \sgn z = \begin{cases} \frac{z}{|z|}, & z \ne 0 \\ 0, & z=0 \end{cases} }[/math]

даёт одно из возможных обобщений функции сигнум на множество комплексных чисел. При этом [math]\displaystyle{ \frac{z}{|z|}=\cos \varphi + i \sin \varphi = e^{i \varphi} }[/math], где [math]\displaystyle{ \varphi = \operatorname{Arg} z }[/math] — аргумент комплексного числа [math]\displaystyle{ z }[/math]. При [math]\displaystyle{ z \ne 0 }[/math] результатом функции [math]\displaystyle{ \sgn z }[/math] является точка единичной окружности, ближайшая к числу [math]\displaystyle{ z }[/math]. Смысл данного обобщения заключается в том, чтобы посредством радиус-вектора единичной длины показать направление на комплексной плоскости, отвечающее числу [math]\displaystyle{ z }[/math]. Это же направление в полярных координатах задаёт угол [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]. Неопределённое направление, отвечающее числу [math]\displaystyle{ z=0 }[/math], выражается нулевым значением функции. Например, таким образом функция signum определена в стандартной библиотеке комплексных чисел в языке Haskell.

• Другой вариант обобщения функции, обозначаемый как [math]\displaystyle{ \operatorname{csgn} }[/math], определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \operatorname{csgn}(z)= \begin{cases} 1, & \operatorname{Re} z \gt 0 \\ -1, & \operatorname{Re} z \lt 0 \\ \sgn \operatorname{Im} z & \operatorname{Re} z=0 \end{cases} }[/math]

Данное обобщение используется, например, в приложениях Mathcad и Maple.

См. также

• Функция Хевисайда

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.